MTK Kelas 10 Sistem Persamaan Linier
📘 MATEMATIKA KELAS X
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Tiga Variabel
A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
1️⃣ Pengertian
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sistem yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel, biasanya x, y, dan z.
Bentuk umum:
[
\begin{cases}
a₁x + b₁y + c₁z = d₁ \
a₂x + b₂y + c₂z = d₂ \
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
\end{cases}
]
Dengan:
x, y, z = variabel
a, b, c = koefisien
d = konstanta
2️⃣ Metode Penyelesaian SPLTV
Ada beberapa metode:
✅ a. Metode Substitusi
Mengganti satu variabel dengan bentuk lain dari persamaan yang sudah disederhanakan.
✅ b. Metode Eliminasi
Menghilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan.
✅ c. Metode Campuran
Gabungan eliminasi dan substitusi (paling sering digunakan).
3️⃣ Contoh Soal SPLTV
Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem berikut:
[
\begin{cases}
x + y + z = 6 \
x + y = 4 \
y + z = 5
\end{cases}
]
Penyelesaian:
Dari persamaan (2):
x + y = 4 → x = 4 − y
Substitusi ke (1):
(4 − y) + y + z = 6
4 + z = 6
z = 2
Substitusi ke (3):
y + 2 = 5
y = 3
Cari x:
x = 4 − 3 = 1
✅ Jadi:
x = 1
y = 3
z = 2
4️⃣ Contoh Soal Cerita SPLTV
Jumlah tiga bilangan adalah 12.
Jumlah bilangan pertama dan kedua adalah 8.
Jumlah bilangan kedua dan ketiga adalah 9.
Tentukan ketiga bilangan tersebut!
(Misalkan bilangan pertama = x, kedua = y, ketiga = z)
[
\begin{cases}
x + y + z = 12 \
x + y = 8 \
y + z = 9
\end{cases}
]
Silakan siswa selesaikan dengan metode eliminasi/substitusi.
B. Sistem Pertidaksamaan Linear Tiga Variabel (SPtLTV)
1️⃣ Pengertian
Sistem Pertidaksamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem yang terdiri dari beberapa pertidaksamaan dengan tiga variabel.
Bentuk umum:
[
a₁x + b₁y + c₁z \le d
]
atau
[
a₁x + b₁y + c₁z \ge d
]
atau < dan >
2️⃣ Penyelesaian SPtLTV
Langkah umum:
Tentukan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
Tentukan irisan (daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan).
Jika soal kontekstual, substitusikan nilai untuk menguji solusi.
Biasanya digunakan dalam program linear dan optimasi.
3️⃣ Contoh Soal SPtLTV
Tentukan apakah titik (1,1,1) memenuhi sistem:
[
\begin{cases}
x + y + z \le 5 \
x + y \ge 2 \
z \ge 0
\end{cases}
]
Substitusi:
1 + 1 + 1 = 3 ≤ 5 ✅
1 + 1 = 2 ≥ 2 ✅
1 ≥ 0 ✅
Karena semua terpenuhi, maka (1,1,1) adalah solusi.
C. Perbedaan SPLTV dan SPtLTV
| SPLTV | SPtLTV |
|---|---|
| Menggunakan tanda = | Menggunakan ≤, ≥, <, > |
| Solusi berupa satu titik | Solusi berupa daerah/ himpunan |
| Diselesaikan dengan eliminasi/substitusi | Uji titik atau metode grafik |
📝 5 Soal Latihan Sederhana
1️⃣ Tentukan nilai x, y, z:
[
\begin{cases}
x + y + z = 9 \
x + y = 6 \
y + z = 7
\end{cases}
]
2️⃣ Selesaikan SPLTV berikut:
[
\begin{cases}
2x + y + z = 10 \
x + y = 5 \
y + z = 6
\end{cases}
]
3️⃣ Uji apakah titik (2,1,1) memenuhi:
[
\begin{cases}
x + y + z \le 5 \
x \ge 1 \
z \ge 0
\end{cases}
]
4️⃣ Jumlah tiga bilangan adalah 15.
Jumlah dua bilangan pertama 9.
Jumlah dua bilangan terakhir 10.
Tentukan ketiga bilangan tersebut!
5️⃣ Tentukan apakah titik (0,2,3) memenuhi:
[
\begin{cases}
x + y + z \le 6 \
y \ge 1 \
z \ge 2
\end{cases}
]
Komentar
Posting Komentar