MTK Kelas 11 Lingkaran Geometri Analitik
📘 MATEMATIKA KELAS XI
Lingkaran dalam Geometri Analitik
A. Pengertian Lingkaran
Dalam geometri analitik, lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
Titik tetap disebut pusat lingkaran
Jarak tetap disebut jari-jari (r)
B. Persamaan Lingkaran
1️⃣ Bentuk Baku (Pusat di (a, b))
Jika pusat lingkaran di titik (a, b) dan jari-jari r, maka persamaan lingkaran adalah:
[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2]
2️⃣ Bentuk Sederhana (Pusat di (0, 0))
Jika pusat di (0, 0), maka:
[x^2 + y^2 = r^2]
C. Menentukan Unsur Lingkaran dari Persamaan
Jika diketahui:
[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25]
Maka:
Pusat = (3, -2)
Jari-jari = √25 = 5
D. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk umum:
[x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0]
Untuk mencari pusat dan jari-jari, ubah ke bentuk baku dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Contoh 1: Mengubah Bentuk Umum ke Bentuk Baku
Diketahui:
[x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0]
Kelompokkan:
[(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12]
Lengkapi kuadrat:
[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9]
[(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25]
Jadi:
Pusat = (2, -3)
Jari-jari = 5
E. Menentukan Persamaan Lingkaran Jika Diketahui Pusat dan Jari-jari
Contoh 2:
Pusat (1, -2), jari-jari 4
[(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16]
F. Menentukan Persamaan Lingkaran Jika Diketahui Diameter
Jika ujung diameter di titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂):
Cari titik tengah → pusat
Hitung jarak → jari-jari
Contoh 3:
A(2,4) dan B(6,4)
Pusat = titik tengah:
[\left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = (4,4)]
Jari-jari = 2
Persamaan:
[(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 4]
G. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Jika diketahui titik (x₁,y₁) dan lingkaran:
Substitusi titik ke persamaan
Bandingkan hasilnya dengan r²
< r² → titik di dalam
= r² → titik pada lingkaran
r² → titik di luar
H. Contoh Soal Analisis
Tentukan kedudukan titik (3,4) terhadap lingkaran:
[x^2 + y^2 = 25]
Substitusi:
[3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25]
Karena = 25, maka titik berada tepat pada lingkaran.
I. Contoh Soal Cerita
Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki pusat di (2,3) dan jari-jari 6 meter.
Tentukan persamaan lingkaran taman tersebut!
Jawab:
[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 36]
📝 Latihan Soal!
1️⃣ Tentukan pusat dan jari-jari:
[(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 16]
2️⃣ Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 7!
3️⃣ Ubah ke bentuk baku:
[x^2 + y^2 + 8x - 6y - 11 = 0]
4️⃣ Tentukan kedudukan titik (2,1) terhadap lingkaran:
[x^2 + y^2 = 5]
5️⃣ Diketahui ujung diameter A(0,2) dan B(4,2).
Tentukan persamaan lingkarannya!
Komentar
Posting Komentar