MATEMATIKA KELAS X BAB II BARISAN DAN DERET

📘 MATEMATIKA KELAS X 

BAB II

BARISAN DAN DERET

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan pengertian barisan dan deret.

2. Menentukan pola suatu barisan.

3. Menentukan suku ke-$n$ barisan aritmetika.

4. Menentukan jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika.

5. Menentukan suku ke-$n$ barisan geometri.

6. Menentukan jumlah $n$ suku pertama deret geometri.

7. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret.

---

1. BARISAN BILANGAN

Pengertian Barisan

Barisan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu.

Contoh:

$$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ldots$$

Barisan tersebut memiliki pola ditambah 2.

Setiap bilangan dalam barisan disebut suku.

• Suku pertama = $U_1$

• Suku kedua = $U_2$

• Suku ketiga = $U_3$

• Suku ke-$n$ = $U_n$

Contoh:

$$5,\ 8,\ 11,\ 14,\ 17,\ldots$$

Maka:

$$U_1=5$$ $$U_2=8$$ $$U_3=11$$

dan seterusnya.

---

2. DERET BILANGAN

Deret adalah penjumlahan suku-suku dalam suatu barisan.

Misalnya barisan:

$$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10$$

Maka deretnya:

$$2+4+6+8+10$$

Jumlah lima suku pertama ditulis:

$$S_5=2+4+6+8+10=30$$

Perbedaan Barisan dan Deret

Barisan	Deret
$2,4,6,8,\ldots$	$2+4+6+8+\ldots$
Berupa susunan bilangan	Berupa penjumlahan bilangan
Menggunakan $U_n$	Menggunakan $S_n$

---

3. BARISAN ARITMETIKA

Pengertian

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku yang berurutan.

Selisih tetap tersebut disebut beda, dilambangkan dengan $b$.

Rumus:

$$b=U_2-U_1$$

atau

$$b=U_3-U_2$$

Contoh

$$4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ldots$$

Selisihnya:

$$7-4=3$$ $$10-7=3$$ $$13-10=3$$

Jadi:

$$b=3$$

---

4. RUMUS SUKU KE-$n$ BARISAN ARITMETIKA

Rumus umum:

$$\boxed{U_n=a+(n-1)b}$$

Keterangan:

• $U_n$ = suku ke-$n$

• $a$ = suku pertama

• $n$ = banyak suku

• $b$ = beda

Contoh Soal 1

Tentukan suku ke-20 dari barisan:

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

Penyelesaian:

Diketahui:

$$a=3$$ $$b=7-3=4$$

Gunakan:

$$U_n=a+(n-1)b$$ $$U_{20}=3+(20-1)(4)$$ $$=3+76$$ $$\boxed{U_{20}=79}$$

---

5. MENENTUKAN SUKU PERTAMA DAN BEDA

Jika diketahui dua suku tertentu, kita dapat mencari $a$ dan $b$.

Contoh Soal 2

Diketahui:

$$U_5=18$$

dan

$$U_{10}=33$$

Tentukan suku pertama dan bedanya!

Penyelesaian:

Rumus:

$$U_n=a+(n-1)b$$

Untuk $U_5$:

$$18=a+4b$$

Untuk $U_{10}$:

$$33=a+9b$$

Kurangkan:

$$33-18=(a+9b)-(a+4b)$$ $$15=5b$$ $$b=3$$

Substitusikan:

$$18=a+4(3)$$ $$18=a+12$$ $$a=6$$

Jadi:

$$\boxed{a=6,\quad b=3}$$

---

6. DERET ARITMETIKA

Pengertian

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmetika.

Contoh:

Barisan:

$$3,\ 6,\ 9,\ 12,\ldots$$

Deret:

$$3+6+9+12+\ldots$$

---

7. RUMUS JUMLAH $n$ SUKU PERTAMA

Rumus:

$$\boxed{S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}$$

atau:

$$\boxed{S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)}$$

Contoh Soal 3

Tentukan jumlah 20 suku pertama dari:

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots$$

Penyelesaian:

Diketahui:

$$a=2$$ $$b=3$$ $$n=20$$

Cari $U_{20}$:

$$U_{20}=2+(20-1)(3)$$ $$=2+57=59$$

Kemudian:

$$S_{20}=\frac{20}{2}(2+59)$$ $$=10(61)$$ $$\boxed{S_{20}=610}$$

---

8. BARISAN GEOMETRI

Pengertian

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku yang berurutan.

Rasio dilambangkan dengan $r$.

Rumus:

$$\boxed{r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}}$$

Contoh

$$2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots$$

Rasionya:

$$r=\frac{6}{2}=3$$ $$r=\frac{18}{6}=3$$

Jadi:

$$r=3$$

---

9. RUMUS SUKU KE-$n$ BARISAN GEOMETRI

Rumus:

$$\boxed{U_n=ar^{n-1}}$$

Keterangan:

• $U_n$ = suku ke-$n$

• $a$ = suku pertama

• $r$ = rasio

• $n$ = nomor suku

Contoh Soal 4

Tentukan suku ke-8 dari barisan:

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots$$

Diketahui:

$$a=3$$ $$r=2$$

Maka:

$$U_8=3(2)^{8-1}$$ $$=3(2^7)$$ $$=3(128)$$ $$\boxed{U_8=384}$$

---

10. DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Contoh:

Barisan:

$$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots$$

Deret:

$$2+4+8+16+\ldots$$

---

11. JUMLAH $n$ SUKU PERTAMA DERET GEOMETRI

Untuk $r\neq1$:

$$\boxed{S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$$

Rumus tersebut dapat juga ditulis:

$$\boxed{S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}}$$

Keduanya menghasilkan nilai yang sama.

Contoh Soal 5

Tentukan jumlah 6 suku pertama dari:

$$2+4+8+16+\ldots$$

Diketahui:

$$a=2$$ $$r=2$$ $$n=6$$

Maka:

$$S_6=\frac{2(2^6-1)}{2-1}$$ $$=2(64-1)$$ $$=2(63)$$ $$\boxed{S_6=126}$$

---

12. BARISAN DAN DERET DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Barisan dan deret banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari.

Contohnya:

• jumlah kursi setiap baris di aula;

• pola susunan ubin;

• tabungan;

• pertumbuhan jumlah penduduk;

• pertumbuhan bakteri;

• jumlah produksi;

• cicilan;

• susunan benda;

• perkembangan investasi.

Contoh Soal Kontekstual

Seorang siswa menabung setiap minggu dengan jumlah yang bertambah secara tetap. Minggu pertama ia menabung Rp10.000, minggu kedua Rp15.000, minggu ketiga Rp20.000, dan seterusnya.

Berapa jumlah uang yang ditabung selama 10 minggu?

Diketahui:

$$a=10.000$$ $$b=5.000$$ $$n=10$$

Gunakan:

$$S_n=\frac n2(2a+(n-1)b)$$ $$S_{10}=\frac{10}{2}[2(10.000)+(10-1)(5.000)]$$ $$=5[20.000+45.000]$$ $$=5(65.000)$$ $$\boxed{S_{10}=Rp325.000}$$

---

📌 RANGKUMAN RUMUS

Barisan Aritmetika

$$\boxed{U_n=a+(n-1)b}$$

Deret Aritmetika

$$\boxed{S_n=\frac n2(2a+(n-1)b)}$$

atau

$$\boxed{S_n=\frac n2(a+U_n)}$$

Barisan Geometri

$$\boxed{U_n=ar^{n-1}}$$

Deret Geometri

$$\boxed{S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$$

atau

$$\boxed{S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}}$$

---

Jika ingin lebih memahami lagi, bisa dilihat di link video ini

 https://youtu.be/-K5ZRuJowTA?si=RhqGWI_hZnbZy6bj 

✏️ LATIHAN SISWA

Kerjakan soal berikut dengan langkah-langkah penyelesaian yang jelas!

1.

Diketahui barisan aritmetika:

$$7,\ 11,\ 15,\ 19,\ldots$$

Tentukan:

a. beda barisan tersebut;
b. suku ke-25.

---

2.

Diketahui suatu barisan aritmetika memiliki:

$$U_4=14$$

dan

$$U_{12}=46.$$

Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut.

---

3.

Hitunglah jumlah 30 suku pertama dari deret:

$$5+9+13+17+\ldots$$

---

4.

Diketahui barisan geometri:

$$3,\ 9,\ 27,\ 81,\ldots$$

Tentukan:

a. rasio barisan;
b. suku ke-8;
c. jumlah 8 suku pertama.

---

5. Soal HOTS/Kontekstual

Sebuah gedung memiliki 12 baris kursi. Baris pertama terdiri atas 18 kursi, baris kedua 21 kursi, baris ketiga 24 kursi, dan setiap baris berikutnya bertambah 3 kursi.

Tentukan:

a. banyak kursi pada baris ke-12;
b. jumlah seluruh kursi di dalam gedung tersebut;
c. jika harga tiket setiap kursi Rp25.000, berapakah pendapatan maksimal jika seluruh kursi terisi?

---