MATEMATIKA KELAS XI BAB II LINGKARAN

📘 MATEMATIKA KELAS XI

BAB II

LINGKARAN

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi lingkaran, siswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan pengertian dan unsur-unsur lingkaran.

2. Menentukan persamaan lingkaran.

3. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran.

4. Menentukan persamaan lingkaran berdasarkan pusat dan titik yang diketahui.

5. Menentukan posisi titik terhadap lingkaran.

6. Menentukan posisi garis terhadap lingkaran.

7. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

8. Menyelesaikan masalah lingkaran dalam kehidupan sehari-hari.

---

1. PENGERTIAN LINGKARAN

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.

Titik tertentu tersebut disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak dari pusat ke titik pada lingkaran disebut jari-jari.

Jari-jari biasanya dilambangkan dengan:

$$r$$

dan pusat lingkaran dilambangkan:

$$P(a,b)$$

---

2. UNSUR-UNSUR LINGKARAN

Beberapa unsur penting pada lingkaran adalah:

1. Titik pusat

Titik yang berada tepat di tengah lingkaran.

2. Jari-jari

Jarak dari titik pusat ke titik pada lingkaran.

Dilambangkan:

$$r$$

3. Diameter

Garis yang melalui pusat dan menghubungkan dua titik pada lingkaran.

Hubungan diameter dan jari-jari:

$$\boxed{d=2r}$$

4. Tali busur

Garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

5. Busur

Bagian dari keliling lingkaran.

6. Juring

Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur.

7. Tembereng

Daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur.

---

3. KELILING DAN LUAS LINGKARAN

A. Keliling Lingkaran

Rumus:

$$\boxed{K=2\pi r}$$

atau

$$\boxed{K=\pi d}$$

dengan:

$$\pi=\frac{22}{7}$$

atau

$$\pi\approx3,14$$

---

B. Luas Lingkaran

Rumus:

$$\boxed{L=\pi r^2}$$

Contoh Soal 1

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm. Tentukan luas dan kelilingnya!

Penyelesaian:

Diketahui:

$$r=14\text{ cm}$$

Gunakan:

$$\pi=\frac{22}{7}$$

Luas

$$L=\pi r^2$$ $$L=\frac{22}{7}\times14^2$$ $$L=\frac{22}{7}\times196$$ $$\boxed{L=616\text{ cm}^2}$$

Keliling

$$K=2\pi r$$ $$K=2\times\frac{22}{7}\times14$$ $$\boxed{K=88\text{ cm}}$$

---

4. PERSAMAAN LINGKARAN

Dalam koordinat Kartesius, persamaan lingkaran dapat ditentukan berdasarkan pusat dan jari-jarinya.

Jika pusat lingkaran:

$$P(a,b)$$

dan jari-jari:

$$r$$

maka persamaan lingkarannya:

$$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$$

---

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat:

$$P(2,3)$$

dan jari-jari 5.

Penyelesaian:

Diketahui:

$$a=2,\quad b=3,\quad r=5$$

Gunakan:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Sehingga:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Jadi:

$$\boxed{(x-2)^2+(y-3)^2=25}$$

---

5. LINGKARAN DENGAN PUSAT DI TITIK ASAL

Jika pusat lingkaran berada di:

$$O(0,0)$$

maka persamaan lingkarannya menjadi:

$$\boxed{x^2+y^2=r^2}$$

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan memiliki jari-jari 7.

Jawab:

$$x^2+y^2=7^2$$ $$\boxed{x^2+y^2=49}$$

---

6. MENENTUKAN PUSAT DAN JARI-JARI

Persamaan lingkaran:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

memiliki:

• pusat = $(a,b)$

• jari-jari = $r$

Contoh Soal 4

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran:

$$(x-4)^2+(y+2)^2=36$$

Perhatikan:

$$(x-4)^2$$

berarti:

$$a=4$$

Sedangkan:

$$(y+2)^2=(y-(-2))^2$$

maka:

$$b=-2$$

dan:

$$r^2=36$$

sehingga:

$$r=6$$

Jadi:

$$\boxed{P(4,-2)}$$

dan

$$\boxed{r=6}$$

---

7. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan lingkaran juga dapat ditulis dalam bentuk:

$$\boxed{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}$$

Untuk menentukan pusat:

$$\boxed{P\left(-\frac D2,-\frac E2\right)}$$

Sedangkan jari-jari:

$$\boxed{r=\sqrt{\frac{D^2+E^2}{4}-F}}$$

---

Contoh Soal 5

Tentukan pusat dan jari-jari:

$$x^2+y^2-6x+4y-12=0$$

Diketahui:

$$D=-6,\quad E=4,\quad F=-12$$

Pusat:

$$P\left(-\frac{-6}{2},-\frac42\right)$$ $$P(3,-2)$$

Jari-jari:

$$r=\sqrt{\frac{(-6)^2+4^2}{4}-(-12)}$$ $$=\sqrt{\frac{36+16}{4}+12}$$ $$=\sqrt{13+12}$$ $$=\sqrt{25}$$ $$\boxed{r=5}$$

Jadi pusat dan jari-jarinya:

$$\boxed{P(3,-2),\quad r=5}$$

---

8. MENENTUKAN PERSAMAAN LINGKARAN JIKA DIKETAHUI PUSAT DAN SATU TITIK

Misalnya diketahui pusat:

$$P(a,b)$$

dan salah satu titik pada lingkaran:

$$A(x_1,y_1)$$

Maka jari-jari dapat dicari menggunakan rumus jarak:

$$\boxed{r=\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2}}$$

Kemudian dimasukkan ke persamaan lingkaran.

Contoh Soal 6

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $P(1,2)$ dan melalui titik $A(4,6)$.

Cari jari-jari:

$$r=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}$$ $$=\sqrt{9+16}$$ $$=5$$

Maka:

$$(x-1)^2+(y-2)^2=25$$

Jadi:

$$\boxed{(x-1)^2+(y-2)^2=25}$$

---

9. POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN

Untuk mengetahui posisi sebuah titik terhadap lingkaran, kita dapat membandingkan jarak titik tersebut dengan jari-jari.

Misalnya lingkaran memiliki pusat $P(a,b)$ dan jari-jari $r$.

Untuk titik:

$$A(x_1,y_1)$$

hitung:

$$d^2=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2$$

Kemudian:

Jika:

$$d^2<r^2$$

maka titik berada di dalam lingkaran.

Jika:

$$d^2=r^2$$

maka titik berada pada lingkaran.

Jika:

$$d^2>r^2$$

maka titik berada di luar lingkaran.

---

10. POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN

Sebuah garis dapat:

1. Memotong lingkaran di dua titik

2. Menjadi garis singgung

3. Tidak berpotongan dengan lingkaran

Misalkan jarak pusat lingkaran ke garis adalah $d$.

Jika:

$$d<r$$

→ garis memotong lingkaran di dua titik.

Jika:

$$d=r$$

→ garis merupakan garis singgung.

Jika:

$$d>r$$

→ garis tidak memotong lingkaran.

---

11. GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Garis singgung adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.

Sifat penting:

Jari-jari yang ditarik ke titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singgung.

Jadi:

$$\boxed{r\perp\text{garis singgung}}$$

---

12. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

Untuk lingkaran:

$$x^2+y^2=r^2$$

dan titik singgung:

$$(x_1,y_1)$$

persamaan garis singgungnya:

$$\boxed{xx_1+yy_1=r^2}$$

Contoh Soal 7

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran:

$$x^2+y^2=25$$

di titik:

$$A(3,4)$$

Karena:

$$r^2=25$$

dan:

$$(x_1,y_1)=(3,4)$$

maka:

$$xx_1+yy_1=r^2$$ $$3x+4y=25$$

Jadi:

$$\boxed{3x+4y=25}$$

---

13. MASALAH KONTEKSTUAL LINGKARAN

Lingkaran banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya:

• roda kendaraan;

• jam dinding;

• meja bundar;

• kolam berbentuk lingkaran;

• lintasan olahraga;

• desain taman;

• tutup botol;

• piring;

• sistem koordinat dan teknologi.

Contoh Soal 8

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 20 meter. Jika di sekeliling taman akan dipasang pagar, berapa panjang pagar yang diperlukan?

Diketahui:

$$d=20$$

Karena:

$$K=\pi d$$

maka:

$$K=3,14\times20$$ $$\boxed{K=62,8\text{ meter}}$$

Jadi panjang pagar yang diperlukan adalah 62,8 meter.

---

📌 RANGKUMAN RUMUS PENTING

Materi	Rumus
Diameter	$d=2r$
Keliling	$K=2\pi r$
Keliling	$K=\pi d$
Luas	$L=\pi r^2$
Persamaan lingkaran pusat $(a,b)$	$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Pusat $(0,0)$	$x^2+y^2=r^2$
Bentuk umum	$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$
Pusat bentuk umum	$\left(-\frac D2,-\frac E2\right)$
Jari-jari bentuk umum	$\sqrt{\frac{D^2+E^2}{4}-F}$
Jarak dua titik	$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Garis singgung $x^2+y^2=r^2$	$xx_1+yy_1=r^2$

Untuk lebih memahami lagi bisa di lihat di link video ini

 https://youtu.be/JwP3JZmS8DM?si=JfyjinloQfHKIq6n

✏️ LATIHAN SISWA

Kerjakan dengan langkah-langkah yang lengkap!

Soal 1

Sebuah lingkaran mempunyai jari-jari 14 cm.

Tentukan:

a. diameter lingkaran;
b. keliling lingkaran;
c. luas lingkaran.

---

Soal 2

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut:

$$(x-3)^2+(y+4)^2=49$$

---

Soal 3

Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai pusat:

$$P(-2,3)$$

dan melalui titik:

$$A(2,6)$$

---

Soal 4

Diketahui lingkaran:

$$x^2+y^2-8x+6y-11=0$$

Tentukan:

a. koordinat pusat lingkaran;
b. panjang jari-jari;
c. apakah titik $A(4,2)$ berada di dalam, pada, atau di luar lingkaran.

---

Soal 5 — HOTS/Kontekstual

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki pusat pada koordinat:

$$P(3,2)$$

dan melalui titik:

$$A(7,5)$$

Tentukan:

a. jari-jari taman;
b. persamaan lingkaran taman;
c. luas taman;
d. jika seluruh bagian tepi taman akan dipasang lampu dengan jarak 2 meter antarlampu, tentukan perkiraan jumlah lampu yang diperlukan.

Petunjuk: Gunakan $\pi=3,14$ untuk bagian yang membutuhkan perhitungan desimal.