MATEMATIKA KELAS 12 BAB 3 — KOMBINATORIK
MATEMATIKA KELAS 12 KURIKULUM MERDEKA
BAB 3 — KOMBINATORIK
Kaidah Pencacahan dan Peluang
A. Pengertian Kombinatorik
Kombinatorik adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung banyaknya kemungkinan atau susunan suatu objek tanpa harus menuliskan semua kemungkinan satu per satu.
Dalam kehidupan sehari-hari, kombinatorik dapat digunakan untuk menjawab pertanyaan seperti:
Berapa banyak cara memilih ketua dan wakil kelas?
Berapa banyak susunan angka yang dapat dibuat?
Berapa banyak cara memilih beberapa siswa dari suatu kelompok?
Berapa banyak kemungkinan hasil pelemparan dadu?
Berapa peluang mendapatkan angka tertentu?
Kombinatorik berkaitan erat dengan kaidah pencacahan dan peluang.
B. Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan adalah aturan untuk menentukan banyaknya kemungkinan suatu kejadian.
Dua aturan dasar dalam kaidah pencacahan adalah:
Aturan penjumlahan
Aturan perkalian
C. Aturan Penjumlahan
Aturan penjumlahan digunakan ketika terdapat beberapa pilihan yang tidak dilakukan secara bersamaan atau merupakan pilihan alternatif.
Jika:
kejadian pertama dapat dilakukan dengan m cara
kejadian kedua dapat dilakukan dengan n cara
dan keduanya tidak dapat dilakukan secara bersamaan, maka banyak cara:
m + n
Contoh 1
Di kantin tersedia:
5 jenis makanan
4 jenis minuman
Seorang siswa hanya memilih satu jenis makanan atau satu jenis minuman.
Banyak pilihan:
5 + 4 = 9
Jadi, ada 9 pilihan.
Contoh 2
Seorang siswa dapat mengikuti:
3 kegiatan olahraga, atau
4 kegiatan seni.
Jika hanya boleh memilih satu kegiatan, banyak pilihan:
3 + 4 = 7 kegiatan
D. Aturan Perkalian
Aturan perkalian digunakan apabila suatu kegiatan dilakukan melalui beberapa tahap.
Jika:
tahap pertama dapat dilakukan dengan m cara
tahap kedua dapat dilakukan dengan n cara
maka banyak cara melakukan kedua tahap tersebut:
m × n
Contoh 3
Aziz mempunyai:
3 kemeja
2 celana
Berapa banyak pasangan pakaian yang dapat dibuat?
Penyelesaian:
Kemeja = 3 pilihan
Celana = 2 pilihan
Banyak pasangan:
3 × 2 = 6
Jadi terdapat 6 pasangan pakaian.
E. Diagram Pohon
Diagram pohon dapat digunakan untuk membantu menentukan banyak kemungkinan.
Misalnya terdapat:
2 pilihan makanan
3 pilihan minuman
Maka:
2 × 3 = 6 kemungkinan
Diagram pohon akan menunjukkan setiap makanan dapat dipasangkan dengan ketiga pilihan minuman.
F. Faktorial
Faktorial digunakan dalam banyak perhitungan kombinatorik.
Faktorial suatu bilangan n ditulis:
n!
dan berarti:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1
Contoh:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Beberapa faktorial penting
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5.040
Selain itu:
0! = 1
G. Permutasi
Permutasi adalah penyusunan beberapa objek dengan memperhatikan urutan.
Kata kunci permutasi:
URUTAN DIPERHATIKAN
Misalnya:
AB berbeda dengan BA.
H. Permutasi Semua Unsur
Jika terdapat n objek berbeda dan semuanya akan disusun, banyak permutasinya:
P = n!
Contoh 4
Ada 4 buku berbeda:
A, B, C, dan D.
Berapa banyak susunan buku yang dapat dibuat?
P = 4!
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24
Jadi ada 24 susunan.
I. Permutasi Sebagian Unsur
Jika dari n objek dipilih r objek dan urutannya diperhatikan:
P(n,r) = n!/(n − r)!
Contoh 5
Dari 5 siswa akan dipilih:
ketua
wakil
Karena jabatan ketua dan wakil berbeda, maka urutan/peran diperhatikan.
Banyak cara:
P(5,2) = 5!/(5 − 2)!
= 5!/3!
= (5 × 4 × 3!)/3!
= 20
Jadi ada 20 cara.
J. Permutasi dengan Unsur yang Sama
Jika terdapat beberapa objek yang sama, rumusnya:
P = n!/(k₁! × k₂! × ...)
Contoh 6
Berapa banyak susunan huruf dari kata:
MAMA
Huruf:
M = 2
A = 2
Jumlah seluruh huruf = 4.
Maka:
P = 4!/(2! × 2!)
= 24/(2 × 2)
= 6
Jadi terdapat 6 susunan berbeda.
K. Permutasi Melingkar
Permutasi melingkar digunakan ketika objek disusun membentuk lingkaran.
Rumus:
P = (n − 1)!
Contoh 7
Enam siswa duduk mengelilingi meja bundar.
Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?
P = (6 − 1)!
= 5!
= 120
Jadi terdapat 120 susunan.
L. Kombinasi
Kombinasi adalah pemilihan beberapa objek yang tidak memperhatikan urutan.
Kata kunci kombinasi:
URUTAN TIDAK DIPERHATIKAN
Contoh:
Memilih siswa A dan B sama dengan memilih siswa B dan A.
Rumus:
C(n,r) = n!/[r!(n − r)!]
M. Contoh Kombinasi
Contoh 8
Dari 5 siswa akan dipilih 2 siswa untuk mengikuti lomba.
Karena hanya memilih anggota dan tidak ada jabatan, urutan tidak diperhatikan.
Maka:
C(5,2) = 5!/[2!(5 − 2)!]
= 5!/(2! × 3!)
= (5 × 4 × 3!)/(2 × 1 × 3!)
= 20/2
= 10
Jadi terdapat 10 cara.
N. Perbedaan Permutasi dan Kombinasi
Ini merupakan bagian yang sangat penting.
| Permutasi | Kombinasi |
|---|---|
| Urutan diperhatikan | Urutan tidak diperhatikan |
| AB ≠ BA | AB = BA |
| Menentukan ketua dan wakil | Memilih anggota kelompok |
| Menyusun siswa | Memilih siswa |
| P(n,r) = n!/(n−r)! | C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] |
Cara mudah mengingat:
Permutasi = posisi/jabatan penting.
Kombinasi = hanya memilih.
O. Peluang
Peluang adalah ukuran yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu kejadian terjadi.
Nilai peluang berada pada:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Keterangan:
P(A) = 0 → kejadian mustahil
P(A) = 1 → kejadian pasti
Semakin dekat dengan 1 → kemungkinan semakin besar
P. Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan hasil suatu percobaan.
Dilambangkan dengan:
S
Sedangkan banyak anggota ruang sampel ditulis:
n(S)
Contoh 9
Sebuah dadu dilempar satu kali.
Kemungkinan hasil:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Maka:
n(S) = 6
Q. Kejadian
Kejadian adalah bagian dari ruang sampel yang menjadi perhatian.
Misalnya pada pelemparan dadu:
Kejadian mendapatkan bilangan genap:
A = {2, 4, 6}
Maka:
n(A) = 3
R. Rumus Peluang
Jika setiap hasil memiliki kemungkinan yang sama, maka:
P(A) = n(A)/n(S)
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyak hasil yang mendukung A
n(S) = banyak seluruh kemungkinan
S. Contoh Peluang Dadu
Sebuah dadu dilempar satu kali.
Tentukan peluang mendapatkan bilangan genap.
Ruang sampel:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Bilangan genap:
A = {2, 4, 6}
Maka:
n(A) = 3
n(S) = 6
P(A) = 3/6
= 1/2
Jadi peluang mendapatkan bilangan genap adalah 1/2.
T. Peluang pada Koin
Sebuah koin memiliki dua kemungkinan:
S = {angka, gambar}
Maka:
n(S) = 2
Peluang muncul angka:
P(A) = 1/2
Jadi peluang muncul angka adalah:
1/2
U. Peluang Komplemen
Komplemen suatu kejadian A adalah kejadian A tidak terjadi.
Ditulis:
Aᶜ
Rumus:
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
Contoh 10
Peluang seorang siswa datang terlambat adalah 1/5.
Maka peluang siswa tidak terlambat:
P(Aᶜ) = 1 − 1/5
= 4/5
V. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian dikatakan saling lepas jika keduanya tidak dapat terjadi secara bersamaan.
Jika A dan B saling lepas:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh 11
Sebuah dadu dilempar.
A = mendapatkan angka 1.
B = mendapatkan angka 6.
Kedua kejadian tidak dapat terjadi bersamaan.
Maka:
P(A) = 1/6
P(B) = 1/6
P(A ∪ B)
= 1/6 + 1/6
= 1/3
W. Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas
Jika dua kejadian dapat terjadi secara bersamaan, maka:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Keterangan:
A ∪ B = A atau B terjadi
A ∩ B = A dan B terjadi
Contoh 12
Dari sebuah dadu:
A = bilangan genap = {2, 4, 6}
B = bilangan lebih dari 3 = {4, 5, 6}
Maka:
A ∩ B = {4, 6}
P(A) = 3/6
P(B) = 3/6
P(A ∩ B) = 2/6
Sehingga:
P(A ∪ B)
= 3/6 + 3/6 − 2/6
= 4/6
= 2/3
X. Peluang Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya satu kejadian tidak memengaruhi kejadian lainnya.
Rumus:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Contoh 13
Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar secara bersamaan.
Peluang muncul:
angka pada koin
angka 6 pada dadu
adalah:
P = 1/2 × 1/6
= 1/12
Y. Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian terjadi dengan syarat kejadian lainnya telah terjadi.
Ditulis:
P(A|B)
dan dirumuskan:
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
dengan P(B) ≠ 0.
Materi ini membantu kita memahami peluang ketika informasi tambahan sudah diketahui.
Z. Contoh Soal Gabungan
Dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa.
18 siswa mengikuti Pramuka.
12 siswa mengikuti Futsal.
7 siswa mengikuti keduanya.
Tentukan banyak siswa yang mengikuti Pramuka atau Futsal.
Gunakan:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
= 18 + 12 − 7
= 23 siswa
Jika seorang siswa dipilih secara acak, peluang siswa tersebut mengikuti Pramuka atau Futsal adalah:
P(A ∪ B) = 23/30
Jadi peluangnya:
23/30
RANGKUMAN RUMUS
| Materi | Rumus |
|---|---|
| Aturan penjumlahan | m + n |
| Aturan perkalian | m × n |
| Faktorial | n! = n(n−1)...1 |
| Permutasi semua unsur | n! |
| Permutasi sebagian | P(n,r) = n!/(n−r)! |
| Permutasi unsur sama | n!/(k₁!k₂!... ) |
| Permutasi melingkar | (n−1)! |
| Kombinasi | C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] |
| Peluang | P(A) = n(A)/n(S) |
| Komplemen | P(Aᶜ) = 1 − P(A) |
| Gabungan | P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) |
| Kejadian bebas | P(A∩B) = P(A)×P(B) |
| Peluang bersyarat | P(A|B) = P(A∩B)/P(B) |
CONTOH SOAL AKHIR
Soal
Dari 8 siswa, akan dipilih 3 siswa untuk menjadi anggota tim lomba.
Berapa banyak cara memilih 3 siswa tersebut?
Penyelesaian
Karena hanya memilih anggota tim dan urutan tidak diperhatikan, maka menggunakan kombinasi.
C(8,3)
= 8!/[3!(8−3)!]
= 8!/(3! × 5!)
= (8 × 7 × 6 × 5!)/(3 × 2 × 1 × 5!)
= (8 × 7 × 6)/6
= 56
Jadi, terdapat 56 cara memilih 3 siswa.
LATIHAN SISWA
Kerjakan dengan langkah-langkah yang lengkap!
Soal 1 — Aturan Perkalian
Seorang siswa memiliki 4 pilihan kemeja dan 3 pilihan celana.
Berapa banyak kombinasi pakaian yang dapat dibuat jika siswa memilih satu kemeja dan satu celana?
Soal 2 — Permutasi
Dari 6 siswa, akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, dan sekretaris.
Berapa banyak susunan kepengurusan yang dapat dibuat?
Soal 3 — Kombinasi
Dari 8 siswa, akan dipilih 3 siswa untuk mengikuti lomba Matematika.
Berapa banyak cara memilih ketiga siswa tersebut?
Soal 4 — Peluang
Sebuah dadu dilempar satu kali.
Tentukan peluang muncul:
a. Bilangan ganjil
b. Bilangan lebih dari 4
c. Bilangan prima
Soal 5 — HOTS
Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Satu bola diambil secara acak.
Tentukan:
a. Banyak seluruh bola.
b. Peluang mendapatkan bola merah.
c. Peluang mendapatkan bola biru atau hijau.
d. Peluang tidak mendapatkan bola merah.
Petunjuk: Tentukan terlebih dahulu ruang sampel dan banyak anggota setiap kejadian.
Komentar
Posting Komentar