MATEMATIKA KELAS 11 BAB 3 — STATISTIKA
MATEMATIKA KELAS 11 KURIKULUM MERDEKA
BAB 3 — STATISTIKA
A. Pengertian Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis, dan menarik kesimpulan dari data.
Contoh penggunaan statistika dalam kehidupan sehari-hari:
Mengetahui rata-rata nilai siswa.
Menentukan jumlah siswa yang mengikuti ekstrakurikuler.
Mengetahui hasil survei pilihan siswa.
Menghitung rata-rata pengeluaran keluarga.
Membandingkan hasil ujian beberapa kelas.
B. Data
Data adalah kumpulan informasi atau fakta yang diperoleh melalui pengamatan, pengukuran, wawancara, atau penelitian.
Contoh data nilai ulangan 10 siswa:
70, 75, 80, 80, 85, 90, 75, 70, 85, 95
Data tersebut dapat diolah untuk mengetahui nilai rata-rata, median, modus, dan ukuran lainnya.
C. Jenis-Jenis Data
1. Data Kuantitatif
Data yang berbentuk angka dan dapat dihitung atau diukur.
Contoh:
Nilai ujian: 80
Tinggi badan: 165 cm
Berat badan: 55 kg
Jumlah siswa: 32 orang
2. Data Kualitatif
Data yang berupa kategori atau keterangan, bukan angka sebagai hasil pengukuran.
Contoh:
Jenis kelamin
Warna kesukaan
Jenis kendaraan
Golongan darah
D. Populasi dan Sampel
1. Populasi
Populasi adalah seluruh objek yang menjadi sasaran penelitian.
Contoh:
Seorang guru ingin mengetahui rata-rata nilai Matematika seluruh siswa kelas X di sebuah madrasah.
Maka seluruh siswa kelas X merupakan populasi.
2. Sampel
Sampel adalah sebagian anggota populasi yang digunakan sebagai wakil dalam penelitian.
Misalnya dari 120 siswa kelas X dipilih 30 siswa untuk diteliti.
Maka:
Populasi = 120 siswa
Sampel = 30 siswa
E. Penyajian Data
Data dapat disajikan dalam beberapa bentuk.
1. Tabel
Contoh data nilai siswa:
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 70 | 4 |
| 80 | 6 |
| 90 | 5 |
| 100 | 3 |
Jumlah siswa:
2 + 4 + 6 + 5 + 3 = 20 siswa
F. Diagram Batang
Diagram batang digunakan untuk membandingkan beberapa kategori data.
Contoh:
Data jumlah siswa yang mengikuti ekstrakurikuler:
| Ekstrakurikuler | Jumlah |
|---|---|
| Pramuka | 20 |
| Futsal | 15 |
| Pagar Nusa | 12 |
| Al-Banjari | 10 |
Data tersebut dapat dibuat dalam bentuk diagram batang.
Keterangan:
Sumbu mendatar → jenis ekstrakurikuler
Sumbu tegak → jumlah siswa
G. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran digunakan untuk menunjukkan perbandingan bagian terhadap keseluruhan data.
Rumus besar sudut setiap bagian:
Sudut = (frekuensi / jumlah seluruh data) × 360°
Contoh
Dari 40 siswa:
20 siswa memilih Pramuka
10 siswa memilih Futsal
6 siswa memilih Pagar Nusa
4 siswa memilih Al-Banjari
Sudut untuk Pramuka:
= 20/40 × 360°
= 180°
Jadi bagian Pramuka pada diagram lingkaran adalah 180°.
H. Diagram Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk menunjukkan perubahan data dari waktu ke waktu.
Contoh:
Jumlah siswa setiap tahun.
Suhu udara setiap jam.
Penjualan selama beberapa bulan.
Jumlah pendaftar SPMB setiap minggu.
I. Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi adalah penyajian data berdasarkan banyaknya kemunculan suatu nilai atau kelompok nilai.
Contoh:
Data nilai:
60, 70, 70, 80, 80, 80, 90, 90
Dapat dibuat tabel:
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 60 | 1 |
| 70 | 2 |
| 80 | 3 |
| 90 | 2 |
Jumlah data:
1 + 2 + 3 + 2 = 8
J. Ukuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan digunakan untuk mengetahui nilai yang dapat mewakili sekumpulan data.
Tiga ukuran pemusatan yang utama adalah:
Mean
Median
Modus
K. Mean (Rata-Rata)
Mean adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.
Rumus:
Mean = jumlah seluruh data / banyak data
atau:
x̄ = Σx / n
Keterangan:
x̄ = rata-rata
Σx = jumlah seluruh data
n = banyak data
Contoh 1
Tentukan rata-rata dari:
70, 75, 80, 85, 90
Penyelesaian:
x̄ = (70 + 75 + 80 + 85 + 90) / 5
= 400 / 5
= 80
Jadi, rata-ratanya adalah 80.
L. Mean Data Berfrekuensi
Jika data mempunyai frekuensi, gunakan:
x̄ = Σ(f × x) / Σf
Keterangan:
x = nilai data
f = frekuensi
Σf = jumlah seluruh frekuensi
Contoh 2
| Nilai (x) | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 70 | 3 |
| 80 | 4 |
| 90 | 1 |
Hitung rata-rata.
Buat kolom fx:
| x | f | f × x |
|---|---|---|
| 60 | 2 | 120 |
| 70 | 3 | 210 |
| 80 | 4 | 320 |
| 90 | 1 | 90 |
Σf = 10
Σfx = 740
Maka:
x̄ = 740 / 10
= 74
Jadi rata-ratanya adalah 74.
M. Median
Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar.
Jika jumlah data ganjil
Rumus posisi median:
Me = data ke-(n + 1)/2
Contoh 3
Data:
60, 70, 75, 80, 85
Jumlah data = 5.
Median berada pada:
(5 + 1)/2 = 3
Data ke-3 adalah 75.
Jadi:
Median = 75
N. Median Jika Jumlah Data Genap
Jika jumlah data genap, median adalah rata-rata dari dua data tengah.
Contoh 4
Data:
60, 65, 70, 75, 80, 85
Ada 6 data.
Dua data tengah adalah:
data ke-3 = 70
data ke-4 = 75
Median:
Me = (70 + 75)/2
= 145/2
= 72,5
O. Modus
Modus adalah nilai yang paling sering muncul.
Contoh 5
Data:
70, 75, 80, 80, 80, 85, 90
Nilai yang paling sering muncul adalah 80.
Jadi:
Modus = 80
Catatan
Suatu data dapat:
Tidak memiliki modus.
Memiliki satu modus.
Memiliki dua modus.
Memiliki lebih dari dua modus.
P. Hubungan Mean, Median, dan Modus
Ketiga ukuran tersebut memberikan informasi tentang pusat data.
Untuk data yang relatif simetris dan tidak memiliki pencilan ekstrem, nilai mean, median, dan modus dapat berada di sekitar pusat data.
Namun, jika terdapat data yang sangat jauh dari data lainnya, mean dapat terpengaruh.
Contoh:
Data A:
70, 70, 75, 75, 80
Data B:
70, 70, 75, 75, 150
Pada data B, nilai 150 sangat tinggi dibandingkan data lainnya sehingga rata-ratanya meningkat.
Q. Jangkauan (Range)
Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil.
Rumus:
Range = nilai terbesar − nilai terkecil
Contoh 6
Data:
60, 65, 70, 75, 80, 90
Nilai terbesar = 90
Nilai terkecil = 60
Range:
= 90 − 60
= 30
R. Kuartil
Kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian.
Terdapat tiga kuartil:
Q₁ = kuartil bawah
Q₂ = kuartil tengah/median
Q₃ = kuartil atas
Hubungannya:
Q₂ = Median
Secara konsep:
Q₁ menunjukkan batas sekitar 25% data terbawah.
Q₂ menunjukkan batas sekitar 50% data.
Q₃ menunjukkan batas sekitar 75% data.
S. Menentukan Kuartil Data Tunggal
Contoh:
Data:
2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 15
Data sudah diurutkan.
Median atau Q₂ adalah:
7
Bagian bawah:
2, 4, 5, 6
Maka:
Q₁ = (4 + 5)/2
= 4,5
Bagian atas:
8, 10, 12, 15
Maka:
Q₃ = (10 + 12)/2
= 11
Jadi:
Q₁ = 4,5
Q₂ = 7
Q₃ = 11
T. Jangkauan Antarkuartil
Jangkauan antarkuartil atau IQR (Interquartile Range) adalah selisih antara Q₃ dan Q₁.
Rumus:
IQR = Q₃ − Q₁
Berdasarkan contoh sebelumnya:
Q₃ = 11
Q₁ = 4,5
Maka:
IQR = 11 − 4,5
= 6,5
U. Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata menunjukkan rata-rata jarak setiap data terhadap nilai rata-ratanya.
Rumus:
SR = Σ|x − x̄| / n
Keterangan:
SR = simpangan rata-rata
x = nilai data
x̄ = rata-rata
n = banyak data
Contoh 7
Data:
2, 4, 6
Mean:
x̄ = (2 + 4 + 6)/3
= 4
Simpangan masing-masing:
| x | x − x̄ | |x − x̄| |
|---:|---:|---:|
| 2 | −2 | 2 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 2 |
Jumlah simpangan mutlak = 4.
Maka:
SR = 4/3
= 1,33
V. Varians
Varians merupakan ukuran penyebaran data berdasarkan kuadrat simpangan dari rata-rata.
Untuk data tunggal, secara umum:
Varians = Σ(x − x̄)² / n
Semakin besar varians, semakin besar penyebaran data terhadap rata-ratanya.
W. Simpangan Baku
Simpangan baku atau standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varians.
Rumus:
s = √varians
Secara umum:
s = √[Σ(x − x̄)² / n]
Simpangan baku digunakan untuk melihat seberapa menyebar data dari nilai rata-ratanya.
X. Pencilan (Outlier)
Pencilan adalah data yang nilainya sangat jauh dibandingkan sebagian besar data lainnya.
Contoh:
70, 72, 73, 75, 76, 150
Nilai 150 dapat dianggap sebagai calon pencilan karena jauh dari data lainnya.
Pencilan dapat menyebabkan nilai mean berubah cukup besar, sehingga dalam kondisi tertentu median lebih representatif untuk menggambarkan pusat data.
Y. Contoh Soal Lengkap
Diketahui data nilai ulangan 10 siswa:
60, 70, 70, 75, 80, 80, 80, 85, 90, 100
Tentukan:
Mean
Median
Modus
Range
Penyelesaian
1. Mean
Jumlah seluruh data:
60 + 70 + 70 + 75 + 80 + 80 + 80 + 85 + 90 + 100
= 790
Banyak data = 10
Mean:
x̄ = 790/10
= 79
2. Median
Jumlah data = 10, berarti genap.
Dua data tengah adalah data ke-5 dan ke-6:
Data ke-5 = 80
Data ke-6 = 80
Median:
Me = (80 + 80)/2
= 80
3. Modus
Nilai yang paling sering muncul adalah 80, yaitu sebanyak 3 kali.
Jadi:
Modus = 80
4. Range
Nilai terbesar = 100
Nilai terkecil = 60
Range:
= 100 − 60
= 40
Kesimpulan
Mean = 79
Median = 80
Modus = 80
Range = 40
RANGKUMAN RUMUS STATISTIKA
| Materi | Rumus |
|---|---|
| Mean | x̄ = Σx/n |
| Mean berfrekuensi | x̄ = Σfx/Σf |
| Median ganjil | Data ke-(n+1)/2 |
| Median genap | (data tengah 1 + data tengah 2)/2 |
| Modus | Data yang paling sering muncul |
| Range | Nilai maksimum − nilai minimum |
| Kuartil | Q₁, Q₂, Q₃ |
| IQR | Q₃ − Q₁ |
| Simpangan rata-rata | Σ|x − x̄|/n |
| Varians | Σ(x − x̄)²/n |
| Simpangan baku | √varians |
LATIHAN SISWA
Kerjakan dengan langkah-langkah yang lengkap!
Soal 1 — Mean, Median, dan Modus
Diketahui data nilai Matematika:
65, 70, 75, 75, 80, 80, 80, 85, 90
Tentukan:
a. Mean
b. Median
c. Modus
Soal 2 — Data Berfrekuensi
Perhatikan tabel berikut!
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 70 | 4 |
| 80 | 6 |
| 90 | 5 |
| 100 | 3 |
Tentukan rata-rata nilai berdasarkan tabel tersebut.
Soal 3 — Ukuran Penyebaran
Diketahui data:
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28
Tentukan:
a. Nilai terbesar
b. Nilai terkecil
c. Range
d. Median
Soal 4 — Kuartil
Diketahui data:
4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 20, 22
Tentukan:
a. Q₁
b. Q₂
c. Q₃
d. IQR
Soal 5 — HOTS
Nilai ulangan 8 siswa adalah:
60, 65, 70, 70, 75, 80, 85, 95
Kemudian guru menambahkan nilai seorang siswa yang sebelumnya belum mengikuti ujian, yaitu 100.
Jawablah pertanyaan berikut:
a. Hitung rata-rata sebelum nilai 100 ditambahkan.
b. Hitung rata-rata setelah nilai 100 ditambahkan.
c. Apakah nilai rata-rata mengalami perubahan? Jelaskan mengapa.
d. Menurutmu, apakah mean atau median lebih tahan terhadap pengaruh nilai yang sangat tinggi? Jelaskan berdasarkan data tersebut.
Komentar
Posting Komentar