MATEMATIKA KELAS 10 BAB 3 VEKTOR DAN OPERASINYA
MATEMATIKA KELAS 10 KURIKULUM MERDEKA
BAB 3 — VEKTOR DAN OPERASINYA
A. Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah.
Contoh besaran yang termasuk vektor:
Perpindahan
Kecepatan
Percepatan
Gaya
Sedangkan besaran yang hanya mempunyai nilai disebut besaran skalar, misalnya:
Massa
Waktu
Suhu
Panjang
Jarak
Perbedaan Vektor dan Skalar
| Vektor | Skalar |
|---|---|
| Memiliki besar dan arah | Hanya memiliki besar |
| Contoh: kecepatan | Contoh: kelajuan |
| Contoh: gaya | Contoh: massa |
| Contoh: perpindahan | Contoh: jarak |
B. Notasi Vektor
Vektor biasanya ditulis menggunakan huruf yang diberi tanda panah.
Misalnya:
→AB
dibaca vektor AB.
Vektor juga dapat ditulis menggunakan huruf tebal, misalnya a, atau dalam bentuk komponen:
a = (a₁, a₂)
Untuk vektor pada bidang koordinat, kita sering menggunakan bentuk:
a = (x, y)
Artinya:
x = komponen horizontal
y = komponen vertikal
Contoh:
a = (3, 4)
berarti vektor tersebut bergerak:
3 satuan ke kanan
4 satuan ke atas
C. Vektor pada Bidang Koordinat
Misalkan terdapat titik:
A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂).
Maka vektor dari A ke B adalah:
→AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)
Contoh 1
Diketahui titik:
A(2, 3) dan B(7, 6).
Tentukan vektor →AB.
Penyelesaian:
→AB = (7 − 2, 6 − 3)
→AB = (5, 3)
Jadi, vektor AB adalah:
→AB = (5, 3)
Artinya dari A menuju B bergerak 5 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas.
D. Besar atau Panjang Vektor
Jika diketahui:
a = (x, y)
maka panjang vektor dapat dihitung menggunakan rumus:
|a| = √(x² + y²)
Rumus tersebut berasal dari Teorema Pythagoras.
Contoh 2
Diketahui:
a = (3, 4)
Tentukan panjang vektor a.
Penyelesaian:
|a| = √(3² + 4²)
|a| = √(9 + 16)
|a| = √25
|a| = 5
Jadi, panjang vektor a adalah 5 satuan.
E. Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor yang mempunyai panjang 0.
Ditulis:
0 = (0, 0)
Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu karena panjangnya sama dengan nol.
Contoh:
a + (−a) = 0
F. Kesamaan Dua Vektor
Dua vektor dikatakan sama apabila:
Besarnya sama.
Arahnya sama.
Jika:
a = (x₁, y₁)
dan
b = (x₂, y₂)
maka:
a = b jika:
x₁ = x₂ dan y₁ = y₂.
Contoh 3
Diketahui:
a = (4, −2)
b = (4, −2)
Maka:
a = b
karena kedua komponen vektor tersebut sama.
G. Penjumlahan Vektor
Dua vektor dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen-komponennya.
Jika:
a = (a₁, a₂)
dan:
b = (b₁, b₂)
maka:
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
Contoh 4
Diketahui:
a = (3, 2)
b = (4, 5)
Tentukan a + b.
Penyelesaian:
a + b = (3 + 4, 2 + 5)
a + b = (7, 7)
Jadi:
a + b = (7, 7)
H. Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangkan setiap komponennya.
Jika:
a = (a₁, a₂)
dan:
b = (b₁, b₂)
maka:
a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂)
Contoh 5
Diketahui:
a = (8, 6)
b = (3, 2)
Tentukan a − b.
Penyelesaian:
a − b = (8 − 3, 6 − 2)
a − b = (5, 4)
I. Perkalian Vektor dengan Skalar
Skalar adalah bilangan biasa.
Jika sebuah vektor dikalikan dengan bilangan k, maka:
k(a₁, a₂) = (ka₁, ka₂)
Contoh 6
Diketahui:
a = (2, 3)
Tentukan 4a.
Penyelesaian:
4a = 4(2, 3)
4a = (8, 12)
Contoh 7
Diketahui:
a = (5, −2)
Tentukan −3a.
Penyelesaian:
−3a = −3(5, −2)
−3a = (−15, 6)
Perhatikan bahwa perkalian dengan bilangan negatif dapat mengubah arah vektor.
J. Vektor Negatif
Jika:
a = (x, y)
maka vektor negatifnya adalah:
−a = (−x, −y)
Vektor a dan −a memiliki:
panjang yang sama
arah yang berlawanan
Contoh:
a = (3, 4)
maka:
−a = (−3, −4)
K. Sifat-Sifat Operasi Vektor
1. Sifat Komutatif
Penjumlahan vektor memenuhi:
a + b = b + a
Contoh:
a = (2, 3)
b = (4, 1)
a + b = (6, 4)
b + a = (6, 4)
Jadi:
a + b = b + a
2. Sifat Asosiatif
Penjumlahan vektor memenuhi:
(a + b) + c = a + (b + c)
Artinya, pengelompokan vektor tidak mengubah hasil.
3. Identitas Penjumlahan
Untuk setiap vektor a:
a + 0 = a
4. Invers Penjumlahan
Untuk setiap vektor a:
a + (−a) = 0
5. Distributif
Perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor:
k(a + b) = ka + kb
L. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1.
Jika:
a = (x, y)
maka vektor satuan yang searah dengan a adalah:
u = a / |a|
Contoh 8
Diketahui:
a = (3, 4)
Panjang a:
|a| = 5
Maka vektor satuannya:
u = (3, 4)/5
u = (3/5, 4/5)
Cek:
|u| = √[(3/5)² + (4/5)²]
= √(9/25 + 16/25)
= √(25/25)
= 1
M. Vektor dalam Bentuk i dan j
Vektor pada bidang koordinat juga dapat dituliskan menggunakan vektor satuan i dan j.
i menunjukkan arah sumbu-X positif.
j menunjukkan arah sumbu-Y positif.
Jika:
a = (x, y)
maka:
a = xi + yj
Contoh 9
Diketahui:
a = (4, 3)
Maka:
a = 4i + 3j
N. Operasi Vektor dalam Bentuk i dan j
Misalnya:
a = 3i + 2j
b = 4i + 5j
Maka:
a + b
= (3i + 2j) + (4i + 5j)
= 7i + 7j
O. Menentukan Vektor dari Dua Titik
Misalkan:
A(x₁, y₁)
B(x₂, y₂)
Maka:
→AB = (x₂ − x₁)i + (y₂ − y₁)j
Contoh 10
Diketahui:
A(−2, 3)
B(4, 8)
Tentukan →AB.
Penyelesaian:
→AB = (4 − (−2), 8 − 3)
→AB = (6, 5)
Jadi:
→AB = 6i + 5j
P. Perkalian Titik / Dot Product
Dua vektor dapat dikalikan menggunakan perkalian titik (dot product).
Jika:
a = (a₁, a₂)
dan:
b = (b₁, b₂)
maka:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
Hasil dot product berupa skalar, bukan vektor.
Contoh 11
Diketahui:
a = (2, 3)
b = (4, 5)
Tentukan a · b.
Penyelesaian:
a · b = (2)(4) + (3)(5)
= 8 + 15
= 23
Jadi:
a · b = 23
Q. Hubungan Dot Product dengan Sudut
Jika dua vektor a dan b membentuk sudut θ, maka:
a · b = |a||b| cos θ
Sehingga:
cos θ = (a · b) / (|a||b|)
Konsep ini dapat digunakan untuk menentukan sudut antara dua vektor.
Contoh 12
Diketahui:
a = (1, 0)
b = (0, 1)
Maka:
a · b = (1)(0) + (0)(1)
= 0
Karena:
a · b = |a||b| cos θ
maka:
0 = (1)(1) cos θ
cos θ = 0
Sehingga:
θ = 90°
Jadi kedua vektor tersebut saling tegak lurus.
Rangkuman Bab 3
| Materi | Rumus |
|---|---|
| Vektor dari A ke B | →AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁) |
| Panjang vektor | |a| = √(x² + y²) |
| Penjumlahan | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂) |
| Pengurangan | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂) |
| Perkalian skalar | k(a₁,a₂) = (ka₁,ka₂) |
| Vektor negatif | −a = (−a₁,−a₂) |
| Vektor satuan | u = a/|a| |
| Dot product | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ |
| Sudut dua vektor | cos θ = (a·b)/(|a||b|) |
Contoh Soal Gabungan
Soal
Diketahui:
a = (3, 4)
b = (2, −1)
Tentukan:
a + b
a − b
2a
|a|
a · b
Penyelesaian
1. a + b
= (3 + 2, 4 + (−1))
= (5, 3)
2. a − b
= (3 − 2, 4 − (−1))
= (1, 5)
3. 2a
= 2(3, 4)
= (6, 8)
4. |a|
= √(3² + 4²)
= √25
= 5
5. a · b
= (3)(2) + (4)(−1)
= 6 − 4
= 2
LATIHAN SISWA
Kerjakan dengan langkah-langkah yang jelas!
1.
Diketahui:
a = (4, 3) dan b = (2, 5).
Tentukan:
a. a + b
b. a − b
2.
Diketahui:
a = (6, 8).
Tentukan panjang vektor a.
3.
Diketahui titik:
A(−3, 2) dan B(5, 7).
Tentukan vektor →AB.
4.
Diketahui:
a = (3, −2) dan b = (4, 5).
Tentukan:
a. 2a
b. −3b
c. a · b
5. HOTS
Diketahui dua vektor:
a = (3, 4) dan b = (x, 2).
Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, tentukan nilai x.
Petunjuk:
Gunakan hubungan dot product untuk dua vektor yang saling tegak lurus.
Catatan untuk siswa
Saat mengerjakan soal vektor, biasakan mengikuti urutan:
Identifikasi vektor → tulis komponen → pilih rumus → lakukan operasi → sederhanakan hasil → tuliskan kesimpulan.
Ini akan membantu mengurangi kesalahan terutama pada tanda positif dan negatif.
Agar lebih jelas bisa di lihat di video ini https://youtu.be/B0O9ebPOtjU?si=kA4iT-M0E0rloKDz
Komentar
Posting Komentar